Math'φsics

Menu
  • Acceuil
  • Maths
  • Physique
    • Maths
    • Physique
  • Théorème de comparaison série-intégrale

    Formulaire de report

    Théorème

    Théorème :
    Soit \(f:[a,+\infty[\to{\Bbb R}\) une fonction continue, positive et décroissante
    Alors la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}f(n)\) et l'intégrale impropre \(\displaystyle\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) sont de même nature

    (Continuité, Fonction positive, Fonction décroissante, Série numérique, Intégrale impropre - Intégrale généralisée)

    Consigne: Montrer que si \(f:[a,+\infty[\to{\Bbb R}\) une fonction continue, positive et décroissante, alors la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant1}f(n)\) et l'intégrale impropre \(\displaystyle\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) sont de même nature
    (théorème de comparaison série-intégrale)

    Séparation de l'intégrale en sommes
    On note \(S_n=\displaystyle\sum_{k\geqslant1}^nf(k)\) $$F(n)=\int_1^n f(x)\,dx=\sum^{n-1}_{k=1}\int^{k-1}_k f(x)\,dx$$

    Théorème fondamental d'analyse
    $$f(k+1)=\int^{k+1}_k f(k+1)\,dx\leqslant\int^{k+1}_kf(x)\,dx=f(k)\int^{k+1}_{k}\,dx=f(k)$$

    Conclusion

    $$S_n-f(1)\leqslant\sum^{n-1}_{k=1}f(k+1)\leqslant F(n)\leqslant\sum^{n-1}_{k=1}f(x)= S_{n-1}$$

    (Théorème fondamental d’analyse)




  • Rétroliens :
    • Intégrale impropre - Intégrale généralisée
    • Série convergente